Quantenmechanik mit Mathematica

Robert Roth
SS 2008
Projektarbeiten
Am 10. Juni beginnen die abschließenden Projektarbeiten, die die Grundlage für die Scheinvergabe bilden. Es gibt vier verschiedene Themen mit verschiedenen Schwerpunkten und Schwierigkeitsgraden zur Auswahl. Die folgenden Notebooks enthalten eine kurze Beschreibung der Themen mit einigen Leitfragen.

Titel Notebook Experte/in
X01 Zufallsgitter
Die Struktur des Energiespektrums und der Eigenzustände in einem periodischen Potential mit zufällige Gitterstörungen soll mittels zwei verschiedener Methode, der Basisentwicklung und der Diskretisierung der Schrödingergleichung, untersucht werden.
Sabine Reinhardt
X02 Zeitentwicklung in 2D
Die Zeitentwicklung eines Wellenpakets in verschiedenen zweidimensionalen Potentialen soll mittels einer Split-Operator-FFT-Methode numerisch untersucht werden. Als Anwendungen kommen z.B. ein Potentialspalt oder zweidimensionale Potnetialtöpfe in Frage.
Markus Hild
X03 Gross-Pitaeviskii-Gleichung
Zur Beschreibung des Grundzustandes eines schwach wechselwirkenden Bosegases in einem externen Potential soll die Gross-Pitaevskii-Gleichung numerisch gelöst werden. Damit läßt sich die Struktur und Stabilität des Bose-Einstein-Kondensat in Abhängigkeit von der Wechselwirkungsstärke untersuchen.
Felix Schmitt

 

Hier noch einige Hinweise:

  • Aus den drei Themen können sie sich eines aussuschen. Die Themen habe unterschiedliche Schwierigkeitsgrade was die Programmierung und den physikalischen Hintergrund angeht. Wählen sie ein Thema aus, das ihnen machbar erscheint - aber bitte unterschätzen Sie sich auch nicht.

  • Sie können die Projekte entweder allein oder in Zweiergruppen bearbeiten, wobei dann nur ein Notebook abgegeben werden muß. Natürlich können und sollten sie auch mit anderen Gruppen diskutieren (und wetteifern), die das gleiche Projekt bearbeiten.

  • Die Projekte können in den Übungsgruppen mit Betreuung durch die Übungsgruppenleiter bearbeitet werden. Natürlich können sie auch außerhalb der Übungszeiten im Pool oder Zuhause an den Projekten arbeiten.

  • Die angegeben Leitfragen sollen nur als Orientierung und Minimalziel dienen. Sie sollten kreativ werden und zusätzliche Fragen untersuchen bzw. eigene Schwerpunkte entwickeln.

  • Das Endprodukt der Projektarbeit sollte ein ausführlich dokumentiertes Mathematica-Notebook sein. Neben dem eigentlichen Programm, das in der Regel aus wenigen Modulen besteht, sollte eine ausführliche Dokumentation des Programmcodes und eine detaillierte Diskussion der physikalischen Anwendungen enthalten sein.

  • Das Notebook sollte so gestaltet sein, daß es von "jedem" bedient und verstanden werden kann - entsprechend ausführlich muß die Dokumentation sein. Idealerweise sollte sich das Notebook von oben nach unten ausführen lassen, wobei am Ende einige interessante Beispiele für das jeweilige Problem enthalten sein müssen.

  • Die ausgearbeteten Projekte müssen bis zum 11. Juli 2008 per Email "abgegeben" werden. Nach Abgabe werden die Übungsgruppenbetreuer oder ich mit ihnen über ihr Notebook diskutieren, d.h. sie stellen uns ihre Arbeit in einem kurzen Gespräch vor.

  • Einige der Arbeiten werden in der letzten Vorlesung von Ihnen vorgestellt.
Vorlesung
An dieser Stelle werden die in den Vorlesungen verwendeten Mathematica- Notebooks zur Nachbereitung als pdf-File () und als Mathematica-nb-File () bereitgestellt.

Sektion Titel Notebook
L01 Mathematica Kompakt I
Grundlagen und symbolisches Rechnen
  
L02 Mathematica Kompakt II
Numerik, Graphik, Programmierung
  
L03 Quantenmechanik Kompakt
Formalismus und Postulate
  
L04 Harmonischer Oszillator in 1D
Schrödingergleichung, Eigenfunktionen, Hamiltonoperator und Leiteroperatoren
  
L05 Drehimpuls und 3D Schrödingergleichung
Kugelflächenfunktionen, Drehimpuls, Radialgleichung
  
L06 Dynamik eines Wellenpakets
Entwicklung in Eigenfunktionen, freies Gaußsches Wellenpaket
  
L07 Shooting Methode
Numerische Lösung der Schrödingergleichung, Potentialtopf, Deuteron
  
L08 Variation und Basisentwicklung
Variationsnäherung, Entwicklung in HO-Basis, Eigenwertproblem
  
L09 Diagonalisierung auf dem Gitter
Diskretisierung der Schrödingergleichung, Eigenwertproblem
  
L10 Dynamik auf dem Gitter
Kleine Zeitschritte, Matrixexponential, Wellenpaket in verschiedenen Potentialen
  
L11 Split-Operator, FFT & Cooling
Impulsraumgitter, Split-Operator Methode und FFT, Entwicklung in imaginärer Zeit
  
L12 Gross-Pitaevskii-Gleichung
Bose-Einstein-Kondensate in Fallen, Nichtlineare Schrödingergleichung
  
L13 Hartree-Fock-Gleichung
Grundzustand eines fermionischen Vielteilchensystems, Selbstkonsistentes Gitter-Hartree-Fock
  
Übungen
Hier finden sie die Aufgabenbläter zu den Übungen in Form von Mathematica- Notebooks. Bitte speichern sie das entsprechende File in ihrem Benutzerverzeichnis und bearbeiten sie es. Nach den jeweiligen Übungsterminen werden die vervollständigten Notebooks an dieser Stelle als "Musterlösungen" bereitgestellt.

Datum Sektion Titel Notebook Lösung
15.4. P01 Teilchen in einer Box
Freies Teilchen, Teilchen in einer Box, Erwartungswerte
22.4. P02 Quantum Bouncing Ball
Teilchen im Gravitationspotential, Zeitentwicklung
6.5. P03 Wellenpaket im Oszillator
Dynamik eines Wellenpakets, Eigenbasis-Entwicklung, Squeezed States
13.5. P04 Shooting Methode
Morse-Oszillator, Genauigkeit und Algorithmen
27.5. P05 Basisentwicklung
Anharmonischer Asymmetrischer Oszillator
optional P06 Diagonalisierung auf dem Gitter
Zufallspotential und periodische Randbedingungen
3.6. P07 Dynamik auf dem Gitter
Wellenpakete im Oszillator
Supplement: C-Code
Hier können Sie das in der Vorlesung diskutierte Beispiel einer C-Implementation für das Problem aus Vorlesung L09 herunterladen. Zum compilieren der C-Quelldatei muß die GSL Bibliothek installiert sein. Mit den GNU-Compilern läßt sich das Programm dann mit 'gcc -o latticesolve latticesolve.c -lgsl' übersetzen.

Allgemeine Informationen, Befehlsreferenzen und Kurse zur Programmiersprache C finden Sie überall im Internet. Eine einfache deutschsprachige Einführung vom FZ Jülich finden Sie hier.

Supplement: Mathematica Crash-Kurs
Als Zusatzmaterial für diejenigen, die eine etwas ausführlichere Einführung in Mathematica wünschen, sind hier die Notebooks für den Crash-Kurs aus der Computational Physics Vorlesung verlinkt.

Sektion Titel Notebook
S01 Mathematica Crash-Kurs I
Zehn Überlebensregeln - Variablen und Zuweisungen - Funktionen - Listen und Ersetzungsregeln
  
S02 Mathematica Crash-Kurs II
Exakte vs. approximative Arithmetik - Symbolische Manipulation - Gleichungen und Gleichungssysteme - Lineare Algebra
  
S03 Mathematica Crash-Kurs III
Differentiation und Taylorentwicklung - Integration - Differentialgleichungen
  
S04 Mathematica Crash-Kurs IV
Funktions- und Listenplots - Graphikprogrammierung - Zusatzpakete
  
S05 Mathematica Crash-Kurs V
Programmierung - Daten-I/O - Datenmodellierung und Analyse
  
Literatur
Hier einige Bücher zum Einsatz von Mathematica in der Physik:
  • J.M. Feagin - Quantum Methods with Mathematica
    Springer (2002) - ISBN 0 387 95365 5
  • R. L. Zimmerman, F.I. Olness - Mathematica for Physics
    Addison-Wesley (2002) - ISBN 0 805 38700 5
  • G. Baumann - Mathematica in Theoretical Physics
    Springer (1996) - ISBN 0 387 94424 9
Und auf Wunsch einige moderne Bücher zur Quantenmechanik, die ich persönlich bevorzuge:
  • B.H. Bransden, C.J. Joachain - Quantum Mechanics
    Pearson Edu. (2000) - ISBN 0 582 35691 1
  • F.S. Levin - An Introduction to Quantum Theory
    Cambridge Univ. Press (2002) - ISBN 0 521 59841 9
  • N. Zettili - Quantum Mechanics: Concepts and Applications
    Wiley (2001) - ISBN 0 471 48944 1
  • R. Shankar - Principles of Quantum Mechanics
    Plenum Publishers (1994) - ISBN 0 306 44790 8
  • J.J. Sakurai - Modern Quantum Mechanics
    Addison Wesley (1993) - ISBN 0 201 53929 2
Hinweise
  • Auf den Rechnern im Physik-Rechnerpool ist mittlerweile Mathematica 6.0 installiert. Das Frontend kann durch den Aufruf mathematica gestartet werden (z.B. mit dem Alt-F2 Dialog von KDE).

  • Zum Anzeigen von Notebooks auf anderen Rechnern kann der MathPlayer direkt bei Wolfram Research heruntergeladen werden: http://www.wolfram.com/products/player.

  • Viele nützliche Information rund um Mathematica finden sich unter http://www.wolfram.com/services/